关于初探初中数学建模
冯秀丽 2012-07-12
数学新课标教学大纲中明确提出：“强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学的理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”所以说强化数学建模能力，不仅能使学生更好地掌握数学基础知识，学会数学的基本思想和方法，也能增强学生应用数学的意识，提高分析问题、解决实际问题的能力。
数学建模的具体步骤：第一，根据实际问题的特点进行数学抽象，构建恰当的数学模型。第二，对所得到的数学模型，进行逻辑推理或数学演算，求出所需的解答。第三，联系实际问题，对所得到的解答进行深入讨论，作出评价和解释，返回到原来的实际问题中去，得出实际问题的答案。
中学阶段常见的数学模型有方程模型、不等式模型、函数模型或几何模型、统计模型等，我们把运用数学模型解决现实问题的方法统称为应用建模。
近几年笔者一直任教九年级数学，版本为《泰山版》，现针对任教内容与大家一起探讨几个常见的数学模型。
一、方程模型
现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系，“方程（组）”模型则是研究现实世界数量关系最基本的数学模型，它可以帮助人们从数量关系的角度更正确、更清晰认识、描述和把握现实世界。
案例1：一元二次方程中的“平均变化率”问题。
为了美化环境，某市加大了对绿化的投资，2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资28.8万元，求这两年绿化投资的平均增长率。
1.问题分析
假设这两年绿化投资的平均增长率为x，那么2008年用于绿化的投资额为多少元？那么2009年用于绿化的投资额为多少元？
2.模型建立
2008年用于绿化的投资额为：20（1+x）。
2009年用于绿化的投资额为：20（1+x）2。
根据2009年用于绿化的投资28.8万元，
得到方程20（1+x）2=28.8。
如果设起始数据为a，终止数据为b，平均变化率为x，则经过两次增长或降低后得到方程形式为a（1+x）2=b或者a（1-x）2=b。
3.对数学模型求解并回归实际问题
解方程20（1+x）2=28.8得：
x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）。
故这两年绿化投资的平均增长率为20%。
二、建立“几何”模型
几何与人类生活和实际密切相关，诸如测量、航海、建筑、工程定位、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时，常需建立“几何模型”，把实际问题转化为几何问题加以解决。
案例2：圆中“垂径定理及其推论”的应用问题。
如图1，一座桥的桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽AB为16米，桥拱最深处离水面4米。
图1图2 （1）求桥拱半径。
（2）大雨过后，桥下面河面宽度为12米，水面涨高了多少？
分析：如图2所示，把实际问题转化成数学问题。（1）求桥拱半径也就是求图中OB的长度。在Rt△BOE中，OE=OG-EG，即为半径与拱高的差，BE即为AB的一半。设桥拱半径为R，根据勾股定理得R2=（R-4）2+82，求得R=10，即桥拱半径为10米。(2)水面涨高的部分即为图中线段EF的长度，它是图中两弦心距OF与OE的差。从一问中能求得OE=10-4=6；OF要在Rt△BOF中求得，OD是10，DF是6，可求OF=8。所以EF=2，即水面涨高了2米。
三、建立“函数”模型
函数反映了事物间的广泛联系，揭示了现实世界众多的数量关系及运动规律。现实生活中，诸多问题常可建立函数模型求解。
案例3：“二次函数”的应用问题。
一名运动员掷铅球，铅球刚出手时离地面的高度为米，铅球运行时距离地面最大高度是3米，此时铅球沿水平方向行进了4米。已知铅球运行的路线是抛物线，求铅球落地时运行的水平距离。
分析：如图建立适当的直角坐标系，把实际问题中的已知数量转化成图中抛物线上点的坐标A（0，）、B（4，3）。设二次函数的顶点式y=a(x-4)2+3，把x=0、y=代入，求得a=-，得二次函数解析式为y=-(x-4)2+3。题目中所求距离即为OC的长度，即把y=0代入得到的符合题意的x值。
令y=0，得-(x-4)2+3=0，解得 x1=10，x2=-2（舍去）；
所以铅球落地时运行的水平距离为10米。
当然，要搞好数学建模教学，还需要结合数学建模的过程，对能力培养进行分解落实。
（1）要培养阅读和语言转化能力，这里包括由普通语言抽象为数学文字语言，再抽象为数学符号语言。因为只有出现了符号语言的形式，才能联想和应用相应的数学结构；要培养抽象、概括能力，数学建模实质上也是一个去粗取精、去伪存真、抽象概括的过程。
（2）要培养数学检索能力，从已有的知识中认定相应的数学模型。这与学生认知结构的好坏有关，不仅需要基本的数学能力，而且带有更大的综合性和灵活性。
（3）要培养联系实际、全面考虑问题的能力。教学中，只有对上述能力具体落实，数学建模教学才能取得较好的效果。
