浅议学习迁移在高中数学教学中的应用

【摘要】：学生学习数学，实际上是学生通过教师的指导来建构自己的数学认知结构。但学生的认知结构是从教材的知识结构转化而来的，由于学生在学习过程中会发生偏差，所以教材中的知识结构并不一定是学生的认知结构。这就要求教师既要注意教学内容的系统性和逻辑性，又要遵循学生的认知结构来处理教材和重组课堂教学内容，设计合理的教学过程，引导学生完成学习的迁移。

【关键词】：学习迁移；认知结构；教学

迁移是指一种学习对另一种学习的影响，它产生于两种学习之中．其中，两种学习的共同因素是迁移的必要条件，而发现两种学习中内在所遵循的共同原理，又是产生迁移的根本．根据这一理论，数学教学中，对代数、平面几何、立体几何之间的学习存在着概念推导、运算方法处理以及数形结合等共同因素，这就需要我们在教学中善于引导学生去发现它们所遵循的共同原理，才能更好地帮助学生把知识转化为能力，从而达到真正提高教学质量的效果．迁移在高中数学学习中是一种非常普遍的现象。新数学知识的掌握总在某种程度下改变着原有的数学认知结构，学生对自己掌握的不同数学知识进行重新组合，往往可以形成新的数学知识经验。早期的学习理论在论及迁移时，一般是指先前的学习对后续学习的一种影响。但后来，人们发现后续学习的知识同时也会对先前已掌握的知识有影响，因此将迁移的定义重新修正为一种学习对另一种学习的影响。数学作为一门基础学科，与其他学科的社会活动联系非常紧密。因此要将迁移理论融入数学教学中，要在学习迁移理论的有效指导下，设计促进学习迁移的有效教学，使实际教学和学生学习效果获得更大的迁移。在获得的迁移中重要的是促进正迁移的发生，而尽量消除负迁移的发生。这样，使学生在学习中能做到举一反三、触类旁通，能用所学知识和技能解决实际问题。数学教育的目的是为了让学生牢固地掌握基础知识、基本技能和发展学生的能力。从这种意义上来说，数学教育的目的无非是为了追求一种学习对另一种学习的促进作用。因此，在数学教学中研究迁移问题，有其特殊的、深刻的意义。基于此，本文从新旧知识之间的迁移、生活中的知识与数学知识之间的迁移以及负迁移向正迁移的转换等角度探讨了迁移思想在高中数学教学中的应用路径。高中数学知识之间是相互联系的，新知识的传授依赖于旧知识的掌握。学生掌握知识的过程也是迁移现象产生的过程，教师传授知识的过程也是迁移现象产生的过程。所以，在高中数学教学中建立起迁移教育的观点，对于帮助学生掌握数学的认知结构，加深对知识的理解，加速技能的形成，提高和发展数学概括能力都具有十分特殊的意义。

一、合理组织教学活动，加强新旧知识的迁移

学生掌握知识的过程是迁移现象产生的过程，教师传授知识的过程也是迁移现象产生的过程。在高中数学的学习过程中，起主要作用的智力活动方式是观察、分析综合、抽象概括、比较、形式化和具体化。如在“函数”概念的学习中，是从初中变量间的关系到数集间的对应关系理解的学习。由“相同要素说”，两种类似的学习内容容易产生影响，而其中学习内容间的类似性是学习活动类似性的一个重要方面。如果学生能对新旧知识做出概括，找出他们之间的联系，那么就能实现学习之间的迁移。因此，加强新旧知识之间的联系(共同要素)是实现迁移的基本要求。因此，教师在数学教学中应当合理地组织教学活动，使教学的每一环节都应注意新旧知识的联系；教师每时每刻都应考虑学生的已有知识，充分利用己有知识的特点来学习新知识，促使正迁移实现。因为产生迁移的关键是学习者在两种活动中概括出它们之间的共同原理，为了提高学习质量，达到顺向正迁移，教师应注意选择那些刺激强度大，具有典型性、新颖性的实例，引导学生进行深入细致的观察，进行科学的抽象和概括，避免非本质的属性得到强化，防止产生顺向负迁移；教师还应及时引导学生对新旧概念进行精确区分、分化，以形成良好的认知结构。 比如，在进行立体几何中“空间角”概念教学时，就可以根据需要有目的地复习旧知识，这样学生会“触景生情”，诱发联想，产生迁移。讲解如下：

1.温故：我们以前是否学过有关“角”的概念？请回忆角的定义。

2.联想：我们将要学习的“空间角”与已学过的角之间有没有联系呢？我们知道立体几何的一个重要思想是将空间问题化归为平面问题来解决，那么能否利用我们已学过的角的概念来研究“空间角”呢？通过上述联想，解决问题的方向、思路已比较清楚了。

3.小结：对于异面直线所成角，通过平移化归为相交直线所成角，由等角定理保证定义的合理性和空间一点选择的任意性，进而比较择优，空间一点通常可选在两条异面直线之中一条的特殊位置上。至此，不仅揭示了新旧知识之间内在的紧密联系，而且培养了学生的创造思维能力。这样，对于线面所成角与二面角问题，便“举一反三”、“触类旁通”地“迁移”了。

二、利用生活中的知识，迁移为数学知识

数学也是一种文化，一种艺术，从生活中来，到生活中去，很多数学概念和定理都能在现实生活中找到它的来源，如果我们当教师的能看到这一点并且重视到这一点，运用迁移的理论，把反映数学的生活迁移到数学教学中来，我们的数学课堂一定会丰富多彩。那么教学中如何具体实施呢？笔者认为可以从以下几个方面入手：

1.生活语言迁移形成数学概念。

数学来源于生活，数学概念不少就来源于我们生活中的语言，只要我们稍加提炼，就能用生活中活生生的语言来诠释同学们以为抽象的数学概念，从而使数学不再令学生感到陌生，实现有利于培养学生情感的迁移。例如，在讲函数时，笔者在教学中是这样引入的，从生活中的信函、公函、涵洞出发，我们会让学生很形象地理解：中学数学最重要，也被人为地认为最抽象，让最多的学生望而生畏的函数概念，其实学生大都能理解，信函和公函是作为勾通人和人、单位和单位之间的关系的，涵洞是沟通路两边的关系的，那么我们的函数也是沟通数与数关系的意思。简单地说，函数就是数与数之间的关系。这样的教学虽然曲解了概念最初的意思，但却拉近了学生和数学的距离。

2.生活中的道理迁移成数学道理 。由金章茂编译的前苏联一位数学家的一本书《没有公式的数学》，在书中他把很多数学道理用生活中浅显易懂的道理给出了说明，使人们不用公式，不用严谨的证明一样能理解数学，而且还能直接感知数学，虽然严谨是数学的本质特征但我们不能仅仅为了这种特征，就把学生拒之数学的大门之外。其实，学生在对数学有了热情之后，他自己也会严谨起来的。基于上述经验，我们也可以把生活中的道理迁移成数学道理。比如，笔者用多米诺骨牌很轻松地给学生讲明了数学归纳法的原理，特别是在数学归纳法中很多学生都不理解：我们要证的关于n的命题成立，我们为什么可以假设n=k时命题成立呢？笔者给学生讲，在多米诺骨牌游戏中，我们把相邻两块摆好，前一块如果倒下能把下一块砸倒，只是为了保证传递下去，我们并不是说前一块就倒了(相当于我们并不是说n=k时命题就成立了)，前一块倒不倒是由你推不推倒更前面的骨牌决定的。学生很容易就明白了数学归纳法中的道理。 3.生活中的现象迁移成数学知识。 生活中的现象之所以能迁移成数学知识，是因为生活中的许多现象就是数学要研究的对象，生活现象就是数学知识活的源泉。只要我们能加以提炼和引导，学生们都能完成这个迁移过程。例如集合论中，我们可以这样讲集合中元素的性质：我们班中的人是确定的，对任何一个人，要么属于我们班，要么不属于我们班，这就是集合中元素的互异性，我们定期互换位置，我们班这个集体还是不变的，即为集合中元素的无序性，我们班中任何两个人都是不同的，即集合中元素的互异性

三、在教学中应促进正迁移的发生，消除负迁移的发生。根据迁移的性质，可分为正迁移与负迁移，正迁移是指一种数学知识的掌握促进另一种数学学习。例如：指数函数的学习有利于对数函数学习；等差数列学习有利于等比数列的学习；椭圆学习有利于双曲线及抛物线的学习等等。在迁移教学过程中，主要是让学生学会归纳、类比、验证、感受迁移的学习方法，并逐步内化成学生自己的学习技能，并希望在以后相同的情景中能主动地进行迁移学习。所以在数学学习中运用正迁移能帮助学生更好地掌握与更新知识，使学生思维能力及思想方法有进一步的提高。但在学习过程中，由于对新旧知识的认识不够深刻，或对它们之间的辨别出现偏差，这时往往会产生负迁移。负迁移是指一种数学知识的学习对另一种数学知识学习起干扰作用。例如：学生常常把结合律推广使用，认为（a•b）•c=a•（b•c）。这主要是学生对新学概念没有深刻理解和形成良好认知结构所造成负迁移的结果。又如，在同一平面内平行的传递性在空间几何中是成立的，而且初中所学平面几何中的定理在高中所学空间几何中大多数都成立，造成有些学生认为平面几何中的定理在空间几何中也是成立的。比如在同一平面内两组对边分别相等的四边形为平行四边形，在空间不成立，这就产生了负迁移。所以，在学生学习中，教师应该对学生的学习进行指导性练习，使练习能产生较大的正迁移，且能避免负迁移的产生。但教师不能在指导中先指出正确的做法，以免妨碍学生学习主动性发挥，要合理安排教学内容及变式练习，避免负迁移的产生，实现学习的正迁移。

四、在教学中创设学习迁移的环境迁移在平时学习中无所不在，不存在相互之间不产生影响的学习。教师应该知道学生能把学到的知识应用到新的学习中或以后的工作和生活中，这也是我们的目的之一，因此高中数学教师应从根本上认识到教学中实现迁移的重要性。

1.加强对迁移理论的认识由于迁移是学习之间的相互影响，一般都是以过去的学习知识为基础，所以认知结构的形成是产生迁移的根本。奥苏伯尔认为，认知结构的可利用性与新旧知识之间的可辨性不仅影响新知识的理解和记忆，而且也影响迁移。认知结构的可利用性就是认知结构中没有适当的、可以与新知识联系并作为固定点将新知识同化到认知结构中去的观念。如果认知结构中有更高概括水平的相关观念作为固定点来同化新知识，学习就更容易形成对新知识的清晰而稳定的理解。比如学生掌握了函数“单调性”基本概念后，就可以很好地求一次函数、二次函数、指数函数的单调性了。这就是在数学学习中“一般”可推出“特殊”，但“特殊”不一定推出“一般”。如果认知结构中缺乏可同化新知识的概念，教师应架设新旧知识之间的桥梁，促进迁移，使学生更好理解和掌握新的知识。新旧知识的可辨性是指新学习内容与学生原有知识之间的差异是否可以有效地辨别与分离。

2.认真研究教材，为学习迁移寻找好的载体教学中教师要实现学习迁移，必须对本学科的知识体系进行深入透彻地钻研。这样才能使学科内知识形成网络结构，实现横纵向迁移。同时，要注意把各章独立的教学内容整合起来。

3.设计合理的教学步骤，引导学生迁移布鲁纳认为，学生学习数学，实际上是学生通过教师的指导来建构自己的数学认知结构。但学生的认知结构是从教材的知识结构转化而来的，由于学生在学习过程中会发生偏差，所以教材中的知识结构并不一定是学生的认知结构。这就要求教师既要注意教学内容的系统性和逻辑性，又要遵循学生的认知结构来处理教材和重组课堂教学内容，设计合理的教学过程，引导学生完成学习的迁移。例如，在学习等比数列求和时，可以提出分期付款的问题：某人买房须贷款20万元，银行按月利率（复利）0.5%计算，要求10年还清，则须每月还多少钱？通过问题引起学生的兴趣。一般地，教材往往是按照定义、定理、公式及法则这样进行编排的，但这样的过程恰好与数学发现过程相反。因此，教师应依据学生已有的数学知识与新知识之间的差异，遵循由熟悉到不熟悉，由特殊到一般的方法，层层推进，融会贯通，以达到学习迁移的目的。“凡是有学习的地方就会有迁移”。 迁移现象在知识学习和掌握过程中是普遍存在的，而知识学习的目的主要是会运用知识解决问题，那么，在教学时，教师要采用合适的教学方法最大限度地增加学生知识的迁移量。一般说来，教师要从学生熟悉的，己掌握的知识经验出发，启发学生联想，鼓励学生寻找待解决的问题与已有经验的相似性，尽可能找到一类题在解法上的共通性，用于解决问题。教学中，教师还应注意学生的观察力、注意力、记忆力、想象力、推理能力和解决问题能力的培养和发展，教会他们随机应变的学习方法，都是有助于学生学习迁移的。只有通过学习的迁移，才能不断将获得的不同个体经验加以整理，才能将知识技能、过程方法、情感态度价值观整合，使之个体化，从而形成能力。

总之，作为教师，我们是教学活动的导演，要时刻提醒自己，永远不要让自己导演的教学活动背离了“为迁移而教”的主题，不但自己要切实做到为迁移而教，同时还要尽量使学生做到为迁移而学，让课堂少一些无意义的机械学习，多一些丰富多彩、能激发学生积极情感的有意义学习。既要注重课本上理论问题的训练，更要注重实际问题的分析和解决，让学生通过运用所学知识解决实际生活中的问题，最大限度地促使学生情感、知识、技能的迁移，不但能使学生牢固树立迁移意识，而且能培养学生分析问题、解决问题的能力。

［1］施良方《.学习论》.北京:人民教育出版社，1994.

［2］章建跃《.数学学习论与学习指导》. 北京:人民教育出版社，2001.

［3］朱成杰《.数学思想方法教学研究导论》.上海：文汇出版社，2001.