谈高中数学应用问题的教学研讨

【摘要】： 培养和提高学生的数学应用意识，是中学数学教学的迫切要求，在中学数学教学的始终都应注重学生应用意识的培养。高中数学新教材在每章开头的序言，问题引入，例、习题，“实习作业”和“研究性课题”中都编排了大量的应用问题，应根据高中学生的认知规律和思维特点进行应用问题的教学，培养学生的应用意识和应用能力。

【关键词】： 数学 课程 应用意识 实践

培养和提高中学生的数学应用意识，使学生掌握提出、分析和解决带有实际意义的或在相关学科，生产、生活中的数学问题，准确而灵活地运用数学语言研究和表述问题，是中学数学教育教学的迫切要求，在中学数学教学过程的始终都应注重学生应用意识的培养，加大应用问题的教学力度。数学应用问题，反映了数学与生产实际的联系，能很好地考查学生分析和解决问题的能力，同时对培养学生的数学素质也有很大的帮助，因此严士健、张奠宙和苏式冬在1993年《数学通报》上联名发表了文章《数学高考题能否出点应用题》.之后，在全国教育系统展开了“应用问题教学”的讨论，高考试题中出应用问题得到国家教委考试中心的充分肯定，引起了社会各界的广泛关注.国家教委考试中的这一肯定在中学数学教学中发挥了较好的导向作用，教师加强了数学应用内容的教学，学生的数学意识、数学建模能力有所提高，近几年高考中应用题的得分率也在逐年提高.然而，总体来说，学生用数学解决实际问题的能力还比较弱，高考解答题中应用题得分还属于较低一类，平时课堂上数学应用题的教学也并不令人乐观，出现许多不健康的现象，教师一味地为了高考，完成任务式的为解题而讲题，教学效果偏低.

另一方面，新课改后的课本对于解决实际问题越来越重视，也越来越强调数学应用于实际，所以，如何更好的培养学生用数学解决实际问题的能力迫在眉睫.为了使数学应用问题的教学卓有成效，对学生这方面能力培养更加迅速，本人以自己多年的教学经验谈几点拙见，与大家共勉.

一、高中数学新教材中的应用问题 传统教材对知识的来龙去脉和数学的应用重视不够，不重视引导学生运用所学知识解决日常生活、生产中遇到的实际问题，学生学数学用数学的意识不够，解决实际问题的能力脆弱。新教材对此做了大的调整，增加了具有广泛应用性、实践性的教学内容，重视数学知识的运用，增强数学应用意识，提高学生分析问题，解决问题的能力，把培养学生运用数学的意识贯穿在教材的各个方面。

1 、每一章的序言，都编排了一个现实中的应用问题，引入该章的知识内容，以突出知识的实际背景。如在第三章《数列》以趣味话题：“国王对国际象棋棋盘发明者奖励的麦粒数 ”的计算作为章头序言，激发学习欲望，增加教材内容的趣味性。 在教材的编排上，既用通俗易懂的语言，陈述问题，又附以插图增强直观形象性、趣味性。

2 、在研究“具体问题”时以实际例子引入课题 高中数学的十章内容中，分别就概念引入、实例说明、数学表示等方面有三十一处都恰当的运用了实际问题和具体情景。如用“不同重量信件的邮资问题”表示分段函数，用功和位移的关系引入向量数量积的概念等。实例引入增强了问题的实际背景，为顺利解决问题作了铺垫。

3 、例题中的应用问题 例题中安排应用问题，一方面可以培养学生阅读能力、分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，而且通过范例讲解，使学生掌握解决应用问题的一般思想和方法。新教材的十章内容中共有 41 个例题是涉及数学应用的，占例题总数的 14.6% ，它们都非常接近学生的生活实际和所学知识，难易适中，示范性强。

4 、练习、习题、复习题中增加了应用问题的分量 为使学生巩固所学知识，逐步提高分析问题、解决问题的能力，新教材在练习题，习题，复习题中增加了大量的应用问题，其中练习题有 45 题，占总数的 12.4% ；习题有 105 题，占总数的 18.15% ；复习题有 50 题，占总数的 14.91% 。分别涉及增长率、行程问题、物理、化学、生物问题，储蓄等各个方面，量大面宽，情景新颖，融知识性，趣味性，自主实践性于一体。

5 、阅读材料 问题生动有趣，贴近学生生活，扩大学生阅读面的阅读材料，新教材中共安排了 15 个，其中： （ 1 ）历史故事方面的，如第二章《函数》的“对数和指数发展简史”，第五章《平面向量》中的“人们早期是怎么样测量地球的半径的？” （ 2 ）介绍数学应用方面，如第八章《圆锥曲线的光学性质及应用》，第十章《抽签有先后，对各人公平吗？》。 （ 3 ）扩充知识方面，有第五章《平面向量》中的“向量的三种类型”等。

6 、新增了“实习作业”和“研究性课题”。 为了使学生亲自体验数学知识的应用，灵活运用数学知识解决实际问题，加强学生学习的自主活动性，培养综合运用知识的能力。新教材安排了三次实习作业，一是 “函数关系的实习作业”，让学生调查研究附近商店、工厂、学校潜在的函数问题；二是利用“平面向量”知识解决不能直接测量的距离、方向问题。三是“线性规划的实际应用”。 研究性课题是培养学生应用意识和创新能力的重要内容，新教材分别在第三、五、七、九章中安排了四个研究性课题：“分期付款中的有关计算”、“向量在物理学中的应用”、“线性规划的实际应用”、“多面体欧拉定理的发现”，让学生动手操作，选择优化方案、归纳概括，恰当建模，运用理论指导实践。

二、高中数学应用题问题的教学实践

传统的教学大都是老师讲，学生听，难以培养学生的学习兴趣。为了打破这些传统的教学模式，培养学生的学习兴趣，各种各样的教学方法应运而生。其中问题教学法就是一种适合高中数学教学的有效教学方法。所谓问题教学法，就是学生在自己对教材知识理解的基础上，加上自己的思想；通过课前预习，对不理解的知识向老师提出疑问；老师再根据学生的问题，归纳总结典型问题，进行课堂讨论、分析，解决问题，让课堂有问有答，师生互动。要想有效地利用问题教学法进行教学，必须很好地掌握“问题解决教学”实践的方法。这些方法主要包括：根据学生已经掌握的知识，创设有效的数学问题情境；根据信息技术提出问题，让学生理解数学内涵；通过概念设置问题，在疑问中发现数学规律。

高中学生年龄一般在 15 — 17 周岁，他们认识过程的各种心理成份虽已接近成人的水平，但智力活动带有明显的随意性，其抽象思维从“经验型”向“理论型”急剧转化。能够逐步的摆脱具体形象和直接经验的限制，借助于概念进行合乎逻辑的抽象思维活动，开始在教师帮助下独立地搜集事实材料，进行分析综合，抽象概括事物的本质属性。因此，应结合学生的心理特点和思维规律，进行应用问题的教学。

1 、重视基本方法和基本解题思想的渗透与训练 为培养学生的应用意识，提高学生分析问题解决问题的能力，教学中首先应结合具体问题，教给学生解答应用题的基本方法、步骤和建模过程，建模思想。 教学应用题的常规思路是：将实际问题抽象、概括、转化 -- 数学问题 、 解决数学问题 、回答实际问题。具体可按以下程序进行： （ 1 ）审题：由于数学应用的广泛性及实际问题非数学情景的多样性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的问题，舍弃与数学无关的因素，抽象转化成数学问题，分清条件和结论，理顺数量关系。为此，引导学生从粗读到细研，冷静、慎密的阅读题目，明确问题中所含的量及相关量的数学关系。对学生生疏情景、名词、概念作必要的解释和提示，以帮助学生将实际问题数学化。 （ 2 ）建模：明白题意后，再进一步引导学生分析题目中各量的特点，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代数式表示，它们之间存在着怎样的联系？将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建成数学模型。 （ 3 ）求解数学问题，得出数学结论 （ 4 ）还原：将得到的结论，根据实际意义适当增删，还原为实际问题。 例：某城市现有人口总数 100 万人，如果年自然增长率为 1.2 ％，写出该城市人口总数 y( 人 ) 与年份 x ( 年 ) 的函数关系式 这是一道人口增长率问题，教学时为帮助学生审题，我在指导学生阅读题时，提出以下要求： ——粗读，题目中涉及到哪些关键语句，哪些有用信息？解释“年自然增长率”的词义，指出：城市现有人口、年份、增长率，城市变化后的人口数等关键量。

——细想，问题中各量哪些是已知的，那些是未知的，存在怎样的关系？ ——建模，启发学生分析这道题与学过的、见过的哪些问题有联系，它们是如何解决的？对此有何帮助？ 学生讨论后，从特殊的 1 年、 2 年…抽象归纳，寻找规律，探讨 x 年的城市总人口问题： y=100(1 1.2%) x .

2 、引导学生将应用问题进行归类 为了增强学生的建模能力，在应用问题的教学中，及时结合所学章节，引导学生将应用问题进行归类使学生掌握熟悉的实际原型，发挥“定势思维”的积极作用，可顺利解决数学建模的困难，如将高中的应用题归为：①增长率（或减少率）问题②行程问题③合力的问题④排列组合问题⑤最值问题⑥概率问题等。这样，学生遇到应用问题时，针对问题情景，就可以，通过类比寻找记忆中与题目相类似的实际事件，利用联想，建立数学模型。 3 、针对不同内容采取不同教法 高中新教材的数学应用问题遍及教材的各个方面，教学时针对不同内容，有的放矢，各有侧重，就会取得较好的效果。 （ 1 ）章头序言，指导阅读，留下悬念 对图文并茂的章头序言，由教师简单提出或由学生阅读，使学生稍作碰壁，留下解题悬念，增强解决问题的欲望。 （ 2 ）重视例题的示范作用 例题是连接理论知识，与问题之间的桥梁，示范性强。因此在讲解例题时应在分析题目各个量的特点关系，建模，解决数学问题、还原为实际问题诸环节都应很好的起示范作用，教师应重视例题的分析与讲解，积极进行启发式教学，培养学生分析问题，解决问题、寻求基本实际模型的能力，重视数学理论知识与实际应用的联系。 （ 3 ）指导练习，巩固方法 充分运用课本的练习题、习题、复习题，让学生自己动手、动脑，应用所学的知识解决实际问题。练习题位于具体的理论知识后面，建模方向性强，教师只需稍作指导；而习题则更多利用教师批改作业的机会，主要纠正数学语言转化过程，及解题的规范过程；复习题由于综合性强，学生解决有困难，教师要给予必要的指导、提示。 （ 4 ）课外阅读，补充提高 对于不作教学要求的阅读材料，根据教学进度提出阅读要求，布置学生进行课外阅读，培养学生的阅读能力，扩大知识面，激发学生的学习兴趣。 （ 5 ）实习作业，重视实际操作与团结协作 完成实习作业，可以打破单一沉寂的课堂教学氛围，激发学生的探索精神，培养学生的实践能力，进一步培养学生应用数学的意识和创新能力。但实际问题的因素是错综复杂的，这就要求学生在调查、分析、研究的基础上，抓住本质，通过筛选，去粗取精，结合数学知识，进行建模解决实际问题。如第五章《三角函数》中的实习作业，对不能直接测量的两点的距离，教师选定符合要求的地点，组织学生实际测量，通过计算器进行计算，学生兴致很高，特别是对“已知两边和一对角”解三角形的三种情况，通过动手操作，实地测量，加深影响，激发了学生的探索精神，增强了学生的感性认识。 （ 6 ）研究性课题，重视自主探究 “研究性课题”是新教材中的一个专题性栏目，具有探究性和应用性的特点，它既是所学内容的实际综合应用，又对学生探究和解决问题具有较好的训练价值。 § 3.6 的“研究性课题”，一个有关分期付款的问题，因为很多人一次性地支付售价较高的商品款额有一定困难，另一方面不少商家也不断改进营销策略，方便顾客购物和付款，它与每个家庭的日常生活密切相关，在今天的商业活动中应用日益广泛。对它的探究将会引起学生极大的兴趣，教学这一课题时，应突出以学生探究为主，教师点拔、介绍为辅，教师不断提出问题，介绍情况、启发诱导。鼓励学生研究和探索。 第一步，让学生阅读教材 P 134 的方案表，明确每个付款方案的次数、方式。 第二步，引导学生探究第二种方案，即分 6 次付清，购买后第 2 个月第一次付款，再过 2 个月第 2 次付款，…购买后 12 个月第 6 次付款，月利率为 0.89 ％，每月利息按复数计算。

首先，学生根据要求试做，不少学生得出每期付款 元，也有学生得出每期付款 元。这时教师不必指出对错，进一步分析、调整学生思维，这两种方式对谁有利？学生计算后，自然得出前者对顾客有利，商家吃亏，而后者对商家有利，顾客吃亏，都不符合买卖公平的原则。 然后，教师适时的指出分期付款的条件，引导学生将原问题进行以下分解： ①商品售价时的货款到全部付清时增值到多少？ ②各期所付款额到贷款全部付清时分别增值到多少？ ③利用付款中的有关规定列出方程： 最后，引导深化——研究不同方案及一般结论，让学生计算方案 1 、 3 ，教师巡视指导，再由学生分组交流、比较结果，选择最优方案，得出一般结论。

三、采用问题教学法的效果

在高中数学课堂中，采用问题教学法，能够取得良好的教学效果，主要体现在以下几点：

1.增强了学生学习数学的积极性和主动性

问题教学法是以问题为中心，在课堂上出现一个又一个问题，学生们根据问题不断思索，课上变得专注，注意力集中，参与分析、解决问题的全过程，大大增强了学生的积极性和主动性。

2.真正实现了以学生为主的课堂教学

问题教学中的问题面向全体学生，避免了传统教学中出现的遗忘差生的现象。通过问题，再加上老师的点拨，学生主动思考，自觉探讨问题的答案，真正成为学习的主人，增强了解决问题的能力。同时利用问题情境把他们的思维推向求异、求宽、求深的高层次，有广阔的活动空间。

3.学生分析解决问题的能力有了进一步的提高

通过问题教学，学生不断地思考问题，分析问题，解决问题，在头脑中就会建立一个有效的数学认知结构，在不断的思索中，解决问题的能力也在一步一步地提高。

实践证明，问题教学法在高中数学教学中取得了良好的效果，是一种有效的教学途径。在以后的教学中，我们要结合实际要学知识，积极有效地采用问题教学法来提高学生的积极性，让学生在学习中不断地享受成功的喜悦。四、对高中数学应用问题的教学建议

1 、在数学应用问题的教学和对学生学习的指导中，应重视介绍数学知识的来龙去脉。 一般情况下，数学知识的产生不外乎实际的需要和数学内部的需要，高中阶段所学的知识大都是来源于实际生活，许多的数学知识都有具体直接的应用，如高二运用不等式的性质计算最值，线性规划，高三的概率统计等。应该让学生充分实践和体验这些知识是如何使用的，在此基础上让学生感受和体验数学的应用价值。

2 、学会运用数学语言描述周围世界中出现的数学现象 数学语言可以清楚、简洁、准确地描述日常生活中的许多现象，让学生养成乐意运用数学语言进行交流的习惯，既可以增强学生应用数学的意识，也可以提高学生运用数学的能力。在教学中，需帮助学生形成一个开阔的视野，了解数学对于人类发展的应用价值。在知识实践，能力培养的基础上，教师应主动地向学生展示现实生活中的数学信息和数学的广泛应用，向学生提供丰富的阅读材料，让学生感受到现实生活与数学知识是密切相关，处处联系的。

3 、关于应用问题中的算法问题 新教材要求用科学计算器，处理、计算数值，在例题、习题中给出的数据都比较复杂，我认为高中数学应用题的重点是数学建模，所以正确建模，明白算法、算理应占主流，一味追求“实际”，多次出现一些复杂数据，会冲淡主要问题的解决。事实上，每节中只要有一两道实际数据的题目，其他的可选择特殊数据或干脆用字母表示，不仅可突出算理，而且会加强应用问题的分析，节省时间，体现字母代数的优越性。

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【1 】全日制普通高级中学教科书（试验修订本•必修）数学 第一册［ M ］．北京：人民教育出版社． 2000 年

【2 】王尚志．培养学生的应用意识是数学课程的重要目标［ J ］．数学教育学报． 2002 ，（ 2 ）

【3 】方明一．积极稳妥地进行数学课程改革［ J ］．高中数学课程教材讲习班专家讲课讲稿． 2001 年 7 月．