关于直觉思维在初中数学中的应用

按照思维过程是否遵循一定的逻辑规则为标准，可以将数学思维分为分析思维和直觉思维．分析思维，就是逻辑思维，它主要是以逻辑（形式逻辑或辩证逻辑）规则对事物按部就班地认识，对其过程主体有清晰的意识．在中学数学中，由于数学知识的严谨性，抽象性和系统性，常常掩盖了直觉思维的存在和作用，因而在目前教学中往往偏重于演绎推理的训练，过分强调形式论证的严密逻辑性，而忽视了直觉思维的突发性理解于顿悟作用，从而在一定程度上限制了学生创造素质的发展．在新课程改革，大力提倡素质教育的今天，加强学生直觉思维能力的培养是极其重要的．

一、数学直觉思维的涵义

数学直觉思维是人脑对数学对象、结构以及关系的敏锐的想象和迅速的判断．所谓判断就是人脑对于数学对象及规律性关系的迅速的认别、直接的理解、综合的判断，也就是直接领悟的思维或认识，也就是数学的洞察力，也称数学直觉判断．所谓想象，是对人脑中已有的表象进行加工改造，从而创造出新形象的过程．想象对数学家而言，作用是极其重要的．牛顿发明微积分，曾得力于他对几何于运动的直觉想象．德国数学家明可夫斯基以其非凡的想象力把三维空间联系起来，构筑起划时代的四维时空表达式．这种想象和判断没有严格的逻辑依据，没有明显的中间推理过程，思考者对其过程缺少清晰的确定步骤，没有清晰的意识．对数学对象、结构以及关系的直觉想象和直觉判断的有机结合，就构成了数学直觉思维．

二、数学直觉思维的特征

根据数学直觉思维的涵义，它具有下列特征：⑴直接性．数学直觉思维反映数学对象、结构以及关系的思维活动，这种思维活动表现为对认识对象的直接领悟或洞察，这是数学直觉思维的本质特征．由于数学直觉思维的直接性，使它在时间上表现为快速性，即数学直觉思维有时是在一刹那时间内完成的；由于数学直觉思维的直接性，使它在过程上表现为跳跃性（或间接性），思维者不是按部就班地推理，而是跳过若干中间步骤或放过个别细节而从整体上直接把握研究对象的本质和

由于数学直觉思维是一种跳跃式的思维，是在逻辑依据不充分的前提下做出的判断，因而直觉思维的结果可能正确，也可能不正确，这一特性称为数学直觉思维的或然性．采用数学直觉思维的目的在于迅速找到事物的本质或内在联系，提出猜想，而不在于论证这个猜想．事实上，猜想可能被证实，也可能被推翻．例如，一百多年前，英国人格色里（Guthrie）发现，他碰到过的所有地图，都可以用四种颜色来染色．于是，他凭直觉作出了如下的猜想：“任何面上的地图，总可以把它的每个图像用四种颜色中的一种来染色，并且使任意两个相邻国家的颜色都不同．”这个猜想吸引了大批数学工作者，他们为之付出了艰苦的劳动，尽管问题没有得到解决，但却发展了“图论”这个很有价值的数学分支．1976年，几个美国数学家借助于电子计算机终于严格地证明了四色猜想的正确性．（3）不可解释性．由于直觉思维是在一刹那时间内完成的，许多中间环节被略去了，思维者对其过程无清晰的意识，所以要对它的过程进行分析研究和追忆，往往是十分困难的，只有当得出并转换成逻辑语言时才能为别人所理解．

灵感是直觉思维的较高层次形式，是一种突发性的直觉．它表现为人们对长期探索而未能解决问题的一种领悟，也就是对百思不得其解的一种“茅塞顿开”．例如，与爱迪生合作的青年数学家阿普顿初到爱迪生研究所时，爱迪生给了他实验小灯泡，叫他计算一下灯泡的容积．过了一会儿，发现阿普顿正忙着测量计算，爱迪生说：“要是我，就往灯泡里灌水，将水直接倒入量杯，不就知道灯泡的容积了吗？”阿普顿的计算才能或逻辑思维能力无疑令人敬佩，然而所缺乏的恰恰是爱迪生的直觉思维能力．

三、数学直觉思维能力训练的途径

庞卡莱认为：“所谓发现或发明无非就是一种选择而已”，“选择能力决定于直觉”，且“一个人的直觉能力的多寡将决定他创造成绩的大小”．彭加勒认为：“逻辑是证明的工具，相信直觉与灵感，真正可贵的因素是直觉”，“看来，直觉是头等重要的．”事实上，很多数学定理最初都是靠直觉猜测出来的．直觉思维能迅速肯定或否定某一思路或结论，给人以“发散”、“发射”的感觉，一计不成又生一计，避免走弯路．因此，加强直觉思维能力的训练，对克服思维的单向性，提高思维品质是极其有利的．那么，怎样训练学生的数学直觉思维能力呢？ 1.依靠直觉，鼓励大胆猜想，培养善于猜想的数学思维习惯．

猜想是一种合情合理，属于综合程度较高的带有一定自觉性的高级认识过程．牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现．”对于数学研究或发现性学习来说，猜想方法是一种重要的基本思维方法．正如G.波利亚所说：“在您证明一个数学定理之前，您必须猜想到这个定理，在您搞清楚证明细节之前，您必须猜到这个定理证明的主导思想．”数学猜想是证明的前提，“数学事实首先是被猜想，然后是被证实”，猜想是数学发展的动力．数学理论上的重大突破，常常起源于立意深刻的猜想．比如：哥德巴赫猜想、黎曼猜想、费马猜想等．

我们在平时教学中可向学生讲授数学猜想的一些基本方法：类比性猜想、归纳性猜想、探索性猜想、构造性猜想及审美性猜想．类比性猜想，是指运用类比方法，通过比较两个问题的共同性，得出新命题或新方法的猜想．归纳性猜想，是指运用不完全归纳法对研究的问题的个例、特例进行观察分析，从中得到有关命题的形式，结论或方法的猜想．探索性猜想是指依据已有的知识和结果，经尝试探索而获得对于待解决问题向结果靠近的方向性猜想．构造性猜想，是指依据数学问题的形式“模式”，利用模型构造法做出相应数学规律或方法的猜想．审美性猜想是运用数学美的思想——简单性、对称性、相似性、和谐性、奇异性等，对研究的对象或问题的特点，结合已有知识与经验所作出的直觉性猜想．

2.创设情境，引导学生直觉思维，点燃学生心灵的思维火花．

在数学教学中，学生的直觉思维的产生和发展，动机的形成，都离不开一定的数学直觉思维情境．牛顿在看到苹果落地的这一情境而引发直觉思维，发现了万有引力定律．所以，教师在传授知识的过程中，一定要精心创设数学直觉思维情境．

例如，在探索八年级（下）第十八章《勾股定理》

情境1:2002年，国际数学家大会采用赵爽的弦图作为会标．设问：它为什么会有如此大的魅力？它蕴涵着怎样迷人的奥秘呢？

情境2：出示以3、4、5:；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17；9、40、41；11、60、61为三边的直角三角形，你们能发现什么规律？

情境3：展示课本73页探究格点图正方形A、B、C和正方形A 、B 、C ，土中的三个正方形面积之间存在怎样的关系？由此你能得出直角三角形三边关系吗？

情境4：请学生拿出准备好的四个完全相同的直角三角形，拼成一个正方形（不得有地方重合），你能根据面积与恒等式的知识得到直角三角形的三边关系吗？

这一系列情境环环相扣．层层深入，大部分学生通过直觉思维就能完成探究，最终建构起直角三角形三边关系，无须证明．在这一过程中，教师是作为引导者，引导学生区洞察、去发现、去探索、去创造；学生是作为发现者，教师要敢于把“概念的形成过程、结论的寻求过程、方法的思考过程、问题被发现的过程、规律被揭示的过程”还给学生，让学生在经历“直觉思维”的过程中，激发学生的好奇心和学习兴趣，逐步学会学习和思考，增长经验与体会，培养直觉思维能力．

3.引导学生动手操作，促进直觉思维的提高．

教育家苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者．而在孩子的精神世界中，这种需要则特别强烈”．教学中，动手操作是促进直觉思维的重要举措，一旦实施得当，学生对这些需要的产生得到满足后，更会激起挑战意识的增强，在直觉思维的基础上得到进一步发展和提升．

例如，教师在讲授“等腰三角形的两个底角相等时”，教师可先让学生拿出已准备好的等腰三角形纸片，引导学生进行观察并对两个底角的关系进行猜想．学生通过自己的感觉反应马上得到“等腰三角形的两个底角相等”．在教师的肯定与赞扬声中，学生们跃跃欲试，又通过动手操作：有的拿出了量角器来进行测量，有通过对折来看这两个角能否重合……很快他们就找到了验证自己猜想的方法，并自然而又深刻地掌握了这一性质．又如在讲授“三角形中位线”之后，通过“画一画”“量一量”“看一看”的操作来猜想三角形中位线的性质，通过学生自己观察与测量得到了“三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半”，并饶有兴趣地进一步推理论证该定理．在讲授新知识的同时，让学生体验着知识本身的魅力与内心的喜怒哀乐，同时又培养他们的直觉思维能力．

逻辑思维在数学中在占据着主导地位，而直觉思维是思维中最活跃、最积极、最具有创造性的成分，是数学发现中的关键因素．逻辑思维与直觉思维形成了辩证的互补关系．直觉思维为演绎思维提供了动力并指示方向，是逻辑思维的飞跃和升华，而逻辑思维则是对直觉思维做出检验与反馈，是直觉思维的深入和精化．可见在数学教学中，逻辑思维与直觉思维是同等重要的，偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展．