数字故事化：增强学生数学兴趣的重要途径

【摘要】利用数字的故事化，可增强学生对数学课的兴趣，在潜移默化中提高数学课对学生的吸引力，如“0”的故事、“9”的故事、“π”的故事、“进制”的故事等。 【关键词】数学课数字故事化进制

兴趣是最好的老师。培养学生对数学的兴趣，是搞好数学课教学的重要一环。而数字的故事化又是增强学生数学兴趣的直接而重要的途径。在十几年的教学实践中，我特别注意用讲故事的形式，使枯燥的数字“生动”起来，在潜移默化中提高数学课对学生的吸引力。现将一些做法贡献出来，请专家批评指正。 一、“0”的故事 “0”是数学家族中的极其重要的一员。它比它的哥哥姐姐们，即1、2、3、4……出生的年龄要小得多。 “0”的诞生比较晚，由“没有”至“零”的认识有一个漫长的过程。在“0”被发明之前，古人的记数方法是繁琐而又残缺，想记一个大数时就得把某些符号重复写好多次。例如把一百零三万零四百零五即1030405，写成一个表示“一百万”的图、三个表示“一万”的图、四个表示“一百”的图及五个表示“一”的图的组和，就像一幅画一样，记起来很麻烦。在印度－阿拉伯数字被采用后，在没有“0”这一数字符号时，古人就把1030405这个数表示为：1 3 4 5，这种表示法容易产生误解，因为两数之间的距离并无具体规定，很像1345。于是后来发明打格的方法来区别：（□），其中空的地方代表空位。可如此做法又将运算变得很麻烦。“0”被采用后，就可以将上数很简洁明了地写成：1030405。故在“0”被采用之前，记数法可说是残缺的。 “0”在数学中的地位如此重要，而这个符号被采用却是来之不易，历经周折。发明了奇特深奥的楔形文字的古巴比伦人不会使用0；能建造宏伟金字塔的古埃及人也不会。中国古代利用算筹进行运算时，怕出现定位错误，开始用“□”代表空位，为书写方便逐渐写成3个比现在椭圆形“O”要圆鼓的一个圆圈。公元前2世纪，希腊人在天文学上用“□”表示空位，可应用并不普遍。印度人在公元6世纪最早用个小黑点“.”表示零，后来逐渐变成了0。正是印度人在公元9世纪真正把0当作一个独立的数来使用。 0的用途很多，除了在诞生历史中所讲的位值制记数法中表示“空位”的用法外，还有多种用途。0可以表示“一无所有”的概念。比如：5-5=0；4个苹果，吃掉4个后，剩0个，表示没苹果了；树上有0只鸟，表示树上没有鸟。 0本身是一个数，它可与其他数一起参加运算。0属于实数之一，又是正数与负数间的唯一中性数，具有以下一些运算性质： a+0=0+a=a a-0=a， 0-a=-a 0×a =a×0=0， 0÷a =0，（a≠0） 0不能做除数，也可由此推出分母不能为0；0也没有倒数。 任意多个0相加或相乘，其结果均为0。 0的绝对值为0。 0的相反数是0。 0在复数中，是唯一幅角没有定义的复数。 0没有对数。 现代电脑用的二进制中，0是一个基本的数码。 0还是标度的起点或分界线。例如，每日以0时为起点；数轴上0是正负数的分界线；温度计中0℃不表示没有温度，而是通常情况下水结成冰的温度，相当于华氏表的32度。0在导弹发射时的口令是表示起点：“9，8，7……1，0——发射”。 0还可以表示精确度。如在近似计算中，7.5与7.50表示精确程度不同。 而0在数学史中又被称作“哥伦布鸡蛋”。在庆祝哥伦布发现新大陆的宫廷宴会上，有人嫉妒地说：“其实，谁开船去不了那儿，这事谁都能办到。”哥伦布不露声色地拿起一只煮熟的鸡蛋问：“诸位，谁能把这只鸡蛋立在桌上。”很多人都试着做了，可鸡蛋就是立不起来。哥伦布拿过鸡蛋，在桌上轻轻一碰，就立在了桌子上。于是一些人又说：“这谁不会呀，壳一破就立住了。”哥伦布满含深意地说：“对呀，有些事看起来很简单，可很多人就是想不到，不去做，别人做到了，他又说简单。0就是这样，发明它之前，没有人想到，有了它之后，人们又认为很简单。”故0又被称作“哥伦布鸡蛋”。 二、“9”的故事 “9”是一位数中最大的数，这个数有很多有趣的故事，同时也是个奇妙的数字。 9成了作除数的“红人儿”：在辽阔的华夏大地上，如今出现了许多“神算子”，他们大都工作在基层，例如银行收储员、商店营业员、教师、小贩等等，他们每天与数字打交道，积累了很多宝贵的心得与数字经验，有的甚至已闻名东亚，受聘出国讲学，为他国培训人才。 四则运算中，当然是除法最麻烦，可其中也有好多小窍门。比如：有两数相除，若被除数为整数，可除数为9，或99、999……、10n-1。而且被除数与除数互相不能整除，又比除数小时，则商一定是循环小数。这个循环数字就是被除数原数，而循环节的位数，就是除数中所含“9”的个数，当被除数的位数小于除数中所含“9”的个数时，就加“0”予以补足。 同理，当除数11、111、1111等作除数时，亦可用类似的“配九法”来做。 假如想求出近似的商数，由于已对全部环节了如指掌，因此，随便由哪一位截取或“四舍五入”的求近似值方法得出，都是很容易得出来的。 假若由3个“9”，怎样运算能得到最大结果呢？答案是（929）29。 9的乘法循环：一个数的个位都是数字9，则平方会出现一种循环： 92=81，8+1=9， 992=9801，98+01=99， 9992=998001，998+001=999， 99992=99980001，9998+0001=9999…… 上面这些等式中，将平方结果分成左右两半，再将这两部分还原相加的和正好是原数。 若把平方换成立方： 93=729，7+2=9， 993=970299，97+02=99， 9993=997002999，997+002=999， 99993=999700029999，9997+0002=9999…… 上式对吗，可以证一个： 99993=99992×9999=99980001×9999=（99980000+1）×9999=（99980000+1）×9999=9998×10000+9999=999929999×10000+9999=（999800019999）×10000+9999=99970002×9999=999700029999依此法可证出其他式子也成立。 三、“π”的故事 “π”是圆周率的符号，是一个常数，表示圆的周长与直径的比值，这个值是定值。有关“π”的故事很多，关于其值的马拉松式的计算和背诵，便是其中之一。 从公元前2世纪开始，直至今日，π的值尽管已被算出数亿位，可印成厚达百万页的书，却仍然是一个近似值。所以人们把关于π值的计算，称为科学史上的“马拉松”。 计算π值的较早计载，可见于公元前2世纪中国的《周髀算经》，其上载有“周三径一”之说。第一个用正确方法计算π值的，是中国魏晋时期的刘徽，他于公元前263年，首创利用圆的内接正多边形面积来逼近圆的面积之法，得出π值约为3.14。中国称这种方法为割圆术。而西方人迟至1200年后，才开始利用类似的方法。后人为纪念刘徽的这个数学贡献，称3.14为徽率。 公元460年，中国南朝数学家、天文学家祖冲之仍然采用刘徽割圆术，算得π值为3.1415926和3.1415927之间，这是世界上首次将圆周率推算到小数点后第7位。祖冲之还找到了两个近似等于π值的分数值：355÷113和22÷7。将这两个分数化成小数，得到的值虽然没有他推算出来的小数值准确，但可采用分数代替π来计算，使其运算更简便。西方迟至1000多年以后，才想到这种办法。 π值被精确到小数点后第7位的记录，被祖冲之保持了1000多年。到了1596年，荷兰数学家卢道夫历经艰苦计算，把π精确到小数点后第15位，后来，他又把π值推进到小数点后第35位。为了纪念他的贡献，人们把他推出来的π值称为“卢道夫数”，1610年他逝世时，人们为他立一墓碑，上刻此数：3.14159265358979323846264338327950288。 卢道夫之后，西方数学家对π的计算进展迅速。1853年，英国数学家威廉·向克斯（William Shanks）以毕生精力从事π的计算，工作非常艰辛，因为那时没有计算机，全都用手算，最后他宣布算出了707位小数。但九十二年以后，也就是第二次世界大战刚刚结束的1945年，人们发现他在第528位时出现了一个小错误，于是528位之后的部分都错了，这之后的180位小数全白算了。1948年1月，弗格雷与雷斯奇合作，算出正确的808位小数的π值。可这种没有计算机的计算仍然艰辛而又费力。而且手算还容易马虎出错。

不过二进制记起数来很冗长，比如87要写成二进制形式是1010111，日常生活中用十进制较多，用二进制较少。可对电子计算机而言，却是另一番情况，二进制有无可比拟的优越性，所以被广泛采用。首先是容易实现。在电子计算机中，若使用P进制，就要求元件具有P种稳定的物理状态来表示P个数码。若P＞2，困难程度是很大的。而二进制只要求元件有两种不同的稳定状态，这不仅容易办到，而且可靠性高。例如：穿孔带的“有孔”、“无孔”，开关的“通”、“断”，晶体管的“通导”、“截止”等都可以实现。另一优点是运算简单。加法和乘法都是最简单的运算方法。再有一个优点就是二进制比其他进制更节省元件。二进制还便于使用数理逻辑来进行分析与总体设计。因此，二进制在计算机日益广泛应用的今天，显得尤为重要，二进制也就成了主要进制之一。 二进制的历史常与计算机创始人莱布尼兹（G.W.Leibnitz，1646年-1716年）的名字联系在一起。他虽然不是二进制的最早发明者，可在他的大力阐述及提倡下，二进制确实引起了人们的关注。在他以前，已有好几个人使用了二进制，例如：英国的代数学家哈里奥特（1560年-1620年），在未发表的手稿中便已用二进制记数法，不过不为人知罢了。莱布尼兹也许没见过前人的有关二进制的论述，因而一直认为二进制是自己的创造。当他得知中国的八卦排列与二进制一致时，更是欣喜若狂，以为自己揭开了数千年前中国的一个不可解之谜——《易经》。因为《易经》有了太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……这同二进制是一致的。 布莱尼兹相信，他在二进制中看到了创造万物的图象，在那里只有两个数0和1。上帝可用“1”表示，虚无用“0”表示。他想象造物主从虚无中创造了一切，正如在二进制中算术用了“1”和“0”表示出所有数一样，这种想法使莱布尼兹太高兴了，以致希望这种创造世界的象征能使当时的中国皇帝（康熙大帝）也皈依基督教。1697年12月，莱布尼兹写信给当时在北京为康熙帝讲授数学的法国传教士白晋，阐述自己的观点，白晋将二进制与《易经》的六爻排列对照，认为二者是一致的。《易经》八卦中的一列六十四卦可以写成000000、000001、000010、000011……111111，正好是二进制中由0到63这64个数的排列。白晋由此认为早在2000多年前中国古代圣人就已发明二进制记数法。可实际上，《易经》中的六十四卦排列并不与二进制中的前64个数一致。 总之，现在似乎还没有足够的理由来肯定《易经》的作者已建立起二进制记数法，虽然《易经》同二进制记数法的原理有些类似。当年，白晋给莱布尼兹的《易经》六十四卦图解是按二进制记数法中前64个数的顺序排列的，所以莱布尼兹对白晋的说法没有丝毫怀疑。他认为几年前中国圣人的创造竟与自己的发明完全一致，这使他十分高兴，从而对中国文化更加神往。 在进制中，除了现在应用最广的十进制与二进制外，还有五进制、二十进制、六十进制，甚至还有七进制、八进制、十二进制、十六进制。五进制是由每只手有5个手指而来的；二十进制是由手指与脚趾加在一起共20个而来的；而六十进制很有科学性，60是能够被1、2、3、4、5、6这几个数同时整除的最小的自然数，因此在以60进位时，计算起来可免去很多麻烦。六十进制在生活中应用也很广泛，如时间中的秒、分钟、小时，圆周为360度，而其中的60秒等于1分，60分等于1度，列式子为60″=1′，60′=1°。 这些进位制记数法分别来自古代的一些文明古国，如中国、古巴比伦、古印度，还有古代美洲的玛雅人、古非洲国家等。其中有些记数法为多国所用，如十进制记数法，也有一个国家采用多种记数法者，如古巴比伦就有五进制、十进制、二十进制、六十进制等多种记数法。后来又由于《圣经》“创世纪”中的说法，世界是上帝7天造出来的，因而每周又称每星期的进制为七进制，每7天为一周。中国古代的一斤等于16两，俗语中的“半斤八两”意为势利均衡，旗鼓相当，因为古代的半斤等于八两。可见在进位记数法中还蕴含了很多知识。 在人类长期的实际应用中，十进制逐渐占了上风，应用最为广泛；二进制也随着科技的发展，计算机的应用，在人们心目中的地位不断升高。可知一些科学工具的发展与应用都是人类长期实践活动选择的结果。