数学建模案例线性代数教学研究

摘要：本文通过分析线性代数课程的特点和目前教学中出现的问题，从数学建模思想入手，结合几个案例探讨了线性代数中矩阵的概念与运算、特征值和特征向量的应用等知识点。具体阐述了将数学建模思想融入线性代数教学过程中的重要性，增强了学生利用数学建模思想解决实际问题的能力。

关键词：线性代数；数学建模；教学方法

线性代数是高校理工科专业大一新生的一门重要的公共基础课程，它不仅是很多高年级的课程的延伸和推广，而且它在数学、物理、控制科学、工程技术等领域也具有广泛的应用，特别是当前计算机科学技术人工智能的快速发展，使得线性代数的作用和地位得到更大的提升。因此，线性代数这门课程学习效果的好坏对学生知识能力的培养和后继课程的开展至关重要。但是，目前线性代数的教学仍然存在一些问题，具体表现为：第一，线性代数的教学模式偏重于理论教学，无法激起学生的学习兴趣。线性代数的概念多，理论性强，抽象晦涩，难以理解，更加加深了学生学习线性代数的难度，降低了学生的学习兴趣。第二，学生的基础较差，课程数较少，导致学生的学习困难。学生来源于不同的地区，生源素质差异较大，使得课堂出现两极分化现象，致使线性代数的教学质量无法全面提升。第三，教学中缺乏实际的应用背景，学生无法理解线性代数作为一门重要基础课程的意义。众所周知，数学建模就是根据实际问题建立数学模型，然后运用数学知识对模型求解，最后根据计算结果来解决实际问题的过程[1]。基于此，本文将数学建模的思想融入线性代数的教学过程中，通过适当引入典型的建模案例[2，3]，达到吸引学生的注意力和学习兴趣的目的，从而活跃课堂教学氛围，提高教学效果。与此同时，在上课过程中讲授数学建模案例还可以增加老师和学生之间的互动性，丰富课堂教学的内容，开阔学生的眼界，使得原本抽象、枯燥乏味的概念和定理变得生动有趣，进而激发学生学习线性代数的兴趣，提升学生学习数学的素养。

1 数学建模案例在线性代数中的应用

线性代数教学中有许多定义和定理抽象晦涩、难以理解，学生上课中往往不知所云，更不知道学习了相关知识有什么作用。如果在教学过程中我们融入相关的实际问题的案例，往往使学生更容易理解，印象更为深刻，起到事半功倍的效果。接下面我们引入两个具体案例来诠释线性代数中的矩阵的概念和矩阵乘法运算、特征值与特征向量的应用等知识点。例1[4]：某航空公司在四个城市之间的航行图如图1 所示，根据图1 ，回答一下问题？（1 ）能否将图1 用数学式子表达？（2 ）图1 种的A城市和C城市如何实现通航？（3 ）从城市B出发经3 次航行再回到B城市的路线有几条？解：乍一看，这一个与数学无关的问题，然而，如果我们利用数学建模的思想能把这个问题(1)转化为线性代数中矩阵的概念来表达，进而利用矩阵的乘法运算来解决这个问题(2)和问题(3)。这样的案例的引入应该可以引起学生的兴趣，也可以让学生明白数学线性代数有用武之地。下面我们经过合理的假设把此问题转化为线性代数中矩阵的相关问题来求解。（1 ）设aij＝0 表示城市i到城市j之间没有航线，aij＝1 表示城市i到城市j之间有航线，ABCD用数字1234 来表示，则图1 的航线运行图可以用下面的邻接矩阵表示由于c22=2 ，所以从B城市经两次中转再回到B城市的路线有两条，即：B→D→A→B，B→D→C→B.例2[5]：城乡人口流动的调查案例，在某城市，每年有比例为p的农村居民迁往城镇，有比例为q的城镇人口迁回农村，假定该国人口总数不变，人口迁移规律不变，回答以下问题：（1 ）k年以后此城市的人口分布情况；（2 ）该城市的农村人口和城市人口是否可以趋于稳定状态？通过分析我们利用数学建模的思想能把这个问题(1)转化为线性代数中矩阵的相关知识来表达，然后利用特征值和特征向量的应用来解决问题(2)。接下来，我们经过合理的简化假设把此问题转化为数学问题。解：（1 ）设开始时刻农村人口为x0 ，城镇人口为y0 ，第k年农村人口为xk，城镇人口为yk，根据题意可知，一年后农村人口和城镇人口为得到矩阵B的特征值为λ1 ＝1 ，λ2 ＝μ其中μ＝1 －p－q。然后计算矩阵B的特征向量，当λ1 ＝1 时，解方程（B＋E）x＝0 ，得到对应的特征向量ξ1 ＝（q，p）T;当λ2 ＝μ时，解方程（B-μE）x＝0 ，得到对应的特征向量ξ2 ＝（－1 ，1 ）T。

2 数学建模案例选择的特点

学生对于线性代数的学习的总体印象应该是抽象难懂，在教学过程中我们设计合理的数学建模案例，可以起到提高学生学习线性代数的兴趣和积极性。然而，选择数学建模案例的效果上往往差别非常大，因此在引入数学建模案例时我们要注意以下的几个方面[5，7]：其一，在引入案例过程中我们要给学生适当的时间和空间，布置一些思考题，让学生自由挥发，这样可能会收到更好的效果。其二，案例的选择越简单、越贴近生活、越有利于理解越好。一方面如果能够选择身边的案例，学生往往能够感觉更贴切，更加真实，这样可能起到出奇制胜的效果。另一方面在案例的挑选中如果能够让学生参与其中，这样可以活跃课堂气氛，增加学生的兴趣和积极性，培养学生的发散思维和联系实际的意识。其三，新案例和旧案例要做到很好的结合，在教学过程中能够造出新案例固然好，这样可以增加课程的新鲜感。如果没有新的案例，充分利用好旧的案例也能达到理想的效果。除此之外，数学建模案例教学虽然可以提高教学的质量，但是精雕细琢的备课和讲授仍然必不可少，如何选择案例、如何组织语言、如何讲解案例，使教学效果最大化应是每一位老师追求的目标。

3 小结

基于上面两个具体案例的分析，我们知道了数学建模案例选择的一些注意事项，我们也看到了在线性代数的教学过程中融入建模的案例可以给学生带来直观上的感受，增强学生自主学习、主动思考的意识。在线性代数教学过程中适当时候引入数学建模案例，可以达到事半功倍的效果。当前，数学建模竞赛如火如荼，引入数学建模案例的线性代数教学改革对当前应用型人才的培养具有积极的促进作用，有效增强了学生利用数学知识解决实际问题的能力。

[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]李尚志.线性代数精彩应用案例(之一)[J].大学数学，2006(3):1-8.

[3]文军，屈龙江，易东云.线性代数课程教学案例建设研究[J].大学数学（高教版），2016 （6 ）：46-52.

[4]郑玉军，汤琼.基于案例与问题驱动的线性代数教学[J].湖南科技学院学报，2019(5):5-6.

[5]朱玲.以数学建模为平台的线性代数案例教学研究[J].产业与科技论坛，2019(11):133-134.

[6]刘春林，李宝娣.线性代数与案例教学的体会与思考[J].湖南理工学院学报(自然科学版)，2016(2):84-88.

[7]赵春芳.基于实际应用的线性代数教学理论研究[J].山东农业工程学院学报，2019(2):140-141.