用数学的观点论述研究律学的三种途径

律学曾一度被学术界称为绝学，它是音乐声学、数学和音乐学互相渗透的一种交叉学科。“律”是构成律制的基本单位，当各律在音度上有了精密的规定，形成一种体系时，便称为“律制”。古今中外，律制包括三分损益律、五度相生律、新律、纯律、十二平均律等等，笔者认为想要更合理地研究律学，可以通过三种途径来研究：各种律制的生律方法；各种律制的数字基础；各种律制发展变化的动力和过程。利用这三种途径可以在横向、纵向上基本涵概律学发展变化的基本内容。

一、各种律制的生律方法

不同的律制由不同的生律方法决定而生律法则与所选择的音程及其计算方法相关，随着科学技术的不断进步，生律方法也随着相关科学的发展而趋于合理和完善。生律方法有三种：古代，根据(管、弦)的长度比例关系来计算；近代，根据音程的频率比来计算；现代，根据音高的音程值来计算。

(一)古人通过发音体(管、弦)的长度比例关系来理解并计算音程，长度比以较高音的长度：较低音的长度为标准。例如：相距纯五度的两音发音体的长度，较高音的长度与较低音的长度的比是2：3；相距纯四度，其长度比是3：4；相距纯正协和的大三度，其长度比是4：5。这些数在古代中国、希腊都作为长度比用以计算音程，利用这些长度比值来计算音程的主要律制有五度相生律、三分损益律等等。

1、以纯五度、纯四度两种音程为生律法的依据而建立的律制，称为五度相生律，这是古希腊按照毕达哥拉斯定律所建立的律制。毕达哥拉斯学派认为当一根弦被缩短到原长度的一半，拨动时发出的音调就与原来的音调构成一个八度音程。类似的，如果长度比是2：3和3：4，对应的则是五度和四度音程。但是五度相生律所订出的七个基本音级间的音高关系，和十二平均律中七个基本音级的音高关系是不同的。虽然EF、BC之间为半音，但比十二平均律中的半音要小，其余相邻两音级之间虽然也为全音，但比十二平均律中的全音要大。这种音高的差异就是由于定律方法的不同而产生的，因此，其后的律学家为发现更合理、更完善的律制而努力探索。

2、公元前6世纪，当古希腊哲学家毕达哥拉斯用数学方法计算出被西方尊为“音律学之祖”的理论——五度相生律时，我们的先祖管仲已在《管子·地员篇》中提出“三分损益生五音”的论断，即“三分损益律”，其原理核心内容与“毕律”分毫不差，但它比西方的五度相生律早了近百年。

三分损益律和五度相生律一样都是根据振动物体的长度来计算的，三分损益律的具体算法是在弦张力相同的情况下，要求已知音上方纯五度音，将发出该音的弦长减去三分之一；要求已知音下方纯四度音，将发出该音的弦长增加三分之一。振动体三分损一所发之音，比原长所发之音高纯五度；三分益一所发之音比原长所发之音低纯四度。如此继续相生而得十二律。按八度同音关系，清黄钟与黄种本律弦长之比应为1：2，清黄钟与黄种本律弦长之比不是1：2，并且清黄钟音分值应为1200音分，而仲吕继续三分损益，得到清黄钟，比黄钟本律高24音分，因此它是不平均律，旋宫转调不完满，暴露出十二律不能回归本律和无法“周而复始”地旋宫转调的问题。

(二)近代，人们开始从单位时间内的振动数，即频率的角度出发，以更精密的方法来研究音高，因此，音程的关系也通过频率比来理解和计算，由于频率与长度成反比，建立比例式时只要高低音在前后项的位置颠倒过来，所得的比例数就完全相同。例如相距纯五度的两个音，较高音的长度与较低音的长度之比是2：3，那么较高音的频率与较低音的频率之比是3：2或3／2；相距纯四度，频率比为4：3；相距纯正协和的大三度，其频率比为5：4。因此，古代所用的比例数仍然有效，只是对于数字所代表的两音的高低作了相反的解释，同样这些数字也就成了频率比了。

(三)无论用长度比、还是频率比，都有内部的缺陷。随着数学的发展，19世纪开始将对数引进到音程计算当中，建立了“音程值”的概念。有了音程值之后，音程的大小就可一目了然了。

任何律制中的任何音程的音分数都可根据频率比通过常用对数算得：先求出比例常数，再把各音程的频率比的常用对数乘以比例常数即得。

各国现多以“音分”为音程值的单位，此为英国数学家兼比较音乐学家埃利斯所创用。八度音程值为1200音分，每个平均律半音为100音分，这对于转变调高是非常方便的，而五度相生律则是“大全音”204音分，“小半音”90音分，很难进行自由转调。

二、各种律制的数字基础

在古希腊，毕达哥拉斯学派认为数学的作用与价值是其宇宙观的重要内容。音乐、几何、雕塑、天文、地理以及建筑方面都可见到数学的作用，尤其是整数发挥的作用，他们认为宇宙间一切现象都可归结为整数或整数之比。在数学史上，关于整数及其性质的研究也是几千年常盛不衰的，这表明推崇整数作为一种文化传统的存在。但人们已经发现五度相生律、三分损益律以及纯律内部的缺陷和不能旋宫转调的问题。为了达到调试的任意旋宫，引入无理数是必要的。中国最早提出十二平均律的明朝皇族乐律学家朱载墒(1536--1610)则执着地认为乐律之正误就是在于频率比是否除得尽：“有奇是以密，无奇是以疏”，由无理数产生的除不尽的频率比才是密律，是精确的乐律。

十二平均律是各相邻律(即半音)之间其频率比都相均等的一种律制，朱载墒的算法是将2开十二次方所得到的弦长倍数(1．059463)，即“频率倍数”，把这个数连续自乘十二次，就分别产生十二平均律各律的频率倍数，而乘到第十二次，就达到2(八度)，即黄钟还原了。朱载堉的贡献在于彻底解决了我国律学史上长期不能解决的黄钟还原的难题。

三、各种律制发展变化的动力——解决旋宫转调问题

古今中外，从事和研究音乐的人们，在长期的音乐实践过程中，发现五度相生律、纯律、三分损益律等乐律内部存在的缺陷——不能旋宫转调的问题，这就是各种律制发展的动力，无数律学家为了寻求可以随意旋宫的律制而努力探索，因此，揭开了长达几千年寻求理想的平均律的历史篇章。

所谓旋宫就是说当音乐运作中发生调式改变时，新音阶与基本音阶能否吻合的问题。拿五度相生律的十二声音阶为例，五度相生律所订出的七个基本音级中EF、BC半音比十二平均律中的半音要小，其余相邻两音级之间比十二平均律中的全音要大。这种音高的差异就是由于定律方法的不同而产生的，当主音改变时，原有的十二声音阶将不能使用，不能达到调式的随意平移，这只需解一道简单的数学题：使十二声音阶具有相同的频率比，然而，问题的解决却经过了长期的探索研究。

与西方古代音乐相比，中国古代音乐起点高，成就大，千百年来，人们对乐律的研究从来就没有中断过。

三分损益律是我国最早的乐律理论，由它定出的乐音纯正悦耳，迄今人们还在使用。但三分损益律是一种不平均律，它所形成的古代大全音204音分，较十二平均律的全音为大，古代小半音90音分，较十二平均律的半音为小。因此，就出现了仲吕无法还生黄钟本律的现象，暴露出十二律不能“周而复始”地旋宫转调的问题。由此也揭开了中华民族长达两千多年之久的寻求平均律的历史序幕。

从此以后，西汉律学家京房，利用“三分损益法”从第十三律起继续往下推算，直至第六十律，他把三分损益法还生本律的音差值由23．5音分缩小至3．6音分。但是，京房六十律并不是十二平均律，依然不能够随意转调，并且它的实用价值不高；南朝太史钱乐之在“京房六十律”的基础上继续用“三分损益法”往下生律，一直生至第三百六十律。他把还生黄钟本律的音差数缩小为1．845音分，但是，他算出来的三百六十律没有应用价值，并且使求解十二平均律的探索步入了“山穷水尽”的困境；南朝宋人何承天不同意京房采用加律的方法来解决音差问题，而是主张在十二律内部加以调整，创造了十分接近十二平均律的“新律”。具体方法是：先以黄钟本律之数(设为9寸)减去仲吕所生黄钟之数(依三分损益法计算11次得到8．8788寸)，得差数0．1212寸。再将此差数平分为十二等分，即0，1212÷12＝0．0101，然后将此数依次递加在林钟以下各律上。何承天的新律，就其效果而言，已相当接近十二平均律了。何承天最早从理论上解决了黄钟还原的问题，但新律是按弦长而非按频率比计算的，因此仍不是真正的十二平均律。

直至明朝中叶，皇族世子朱载墒揭开了划时代的一幕，他发明以珠算开方的办法，求得律制上的等比数列，从而得到真正的十二平均律，且黄钟正好还原，可以随意旋宫转调。

十二平均律以其精密的计算最终解决了古代中外“毕”“管”两位“乐律学之祖”留下的千古缺憾，近两千年中外律学家锲而不舍的追求目标，他第一次解决了十二律自由旋宫转调的千古难题，从而实现了利用等比数列方式将一个纯八度的振动体均匀地分为12份比值相等的“十二平均律”原则。这是音乐文化史上最早出现的“十二平均律”律学理论，这一伟大发明对于中国乃至世界都具有深远的影响。

综上所述，律学是音乐声学、数学和音乐学互相渗透的一种交叉学科，我们研究律学，应该合理把握其间的交叉关系，为研究乐律、分析乐律服务。但是严格的数学推导不能精确发现音乐的本质，历史证明寻求更完善的乐律不能单纯用数学方法去计算，并且律学与数学有着非常复杂的关系，我们必须清醒地认识到，我们要研究的是音乐而不是数学，要避免盲目的“以数求音”的错误观点。

[1]杨传中著《朱氏十二平均律及其西传》淮南师范学院学报，2003年第2期

[2][3][6]赵宋光、韩宝强著《中国大百科全书·音乐舞蹈卷》，中国大百科全书出版社，1989年

[4][5][7]黄力民著《和谐性：三种乐律的比较研究》，湘潭矿业学院报1994年第1期

[8]孙继南、周柱铨著《中国音乐通史简编》，山东教育出版社，2000年

[9]杨传中著《朱氏十二平均律及其西传》，淮南师范学院学报，2003年第2期