关于数学建模意识在教学中的应用

： 数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关的。作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模自然有着与数学同样悠久的历史。两千多年以前创立的欧几里德几何，17世纪发现的牛顿万有引力定律，都是科学发展史上数学建模的成功范例。???

一、数学建模意义

数学模型具有解释、判断、预测等重要功能，它在各个领域的应用会越来越广泛．

就教育领域来说，数学建模课程可以培养和提高学生下列能力：

（1）洞察能力；

（2）数学语言翻译能力；

（3）综合应用分析能力；

（4）联想能力；

（5）各种当代科技最新成果的使用能力．

二、数学建模方法

常用的数学建模方法如下：

（一）机理分析法 从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出数学模型的方法

1. 比例分析法 —— 建立变量之间函数关系的最基本、最常用的方法.

2. 代数方法——求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法.

3. 逻辑方法——是数学理论研究的重要方法，用以解决社会学和经济学等领域的实际问题，在决策论，对策论等学科中得到广泛应用.

4. 常微分方程——解决两个变量之间的变化规律，关键是建立“瞬时变化率”的表达式．

5. 偏微分方程——解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律．

（二）数据分析法 从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型的方法

1. 回归分析法——用于对函数的一组观测值，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法．

2. 时序分析法——处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法．

(三)仿真和其他方法

1. 计算机仿真（模拟）——实质上是统计估计方法，等效于抽样试验．

① 离散系统仿真——有一组状态变量．

② 连续系统仿真——有解析表达式或系统结构图．

2. 因子试验法——在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构．

3. 人工现实法——基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统．

三、数学建模的几种模式

数学建模的研究性学习是学生探究问题的过程，主要由学生自己完成，学生具有高度的主体性，注重学生在学习过程中体验，是一种建构活动，是一种形成活动，一种反思活动；研究性学习具有实践性，能使学生更好地理解数学在实际中的应用；研究性学习具有开放性。

教学实践中，我采用的具体模式有以下几种：

模式1．统一问题——研究报告模式

教师认真选择或者构造实际问题或实际问题系列，给出解决问题要求或主要线索，由学生个人或小组按照教师的要求或提示，用一个较长的作业周期（一般不少于一星期），独立完成求解任务。条件合适时，还可以组织交流和答辩。

模式2．调查报告模式

调查报告模式是课外活动课内交流的形式。一般分两种情况，一是要求学生自己利用休息时间，在现实生活中寻找与此部分知识相关的问题，并写成调查报告，用于课上交流；二是统一内容，一起针对一个实际问题，选择课题学习方式，并提出解决问题方案，写成调查报告，用于课上交流。两种方式有不同侧重点，对学生能力的培养也不尽相同。前者着重于发现生活中处处有数学，后者侧重于对同一实际问题，不同的课题学习、建模方案。在这个过程中，学生把学习知识、应用探索发现、使用计算机或其他测量工具等有机的结合起来。在他们自主地解决问题的过程，学数学、用数学、获得“微科研”的体验，培养了协作精神和关注社会，关注生活的社会责任感和主人翁意识；培养了不因循守旧的创新意识和实践能力。回到课堂上，同学们畅所欲言，真正实现了师生互动、生生互动，学生的认知情绪和探求事物的心理得到满足；同时开放的问题情景和开放性命题，供学生思维和探求的悬念较多，激发了学生的学习兴趣和成就感。 模式3．优秀建模案例研读模式

此模式是一种课下阅读，课内交流。选定一篇学生数学建模优秀论文，学生课下阅读。

首先，对学生提出如下要求：了解原作所提的问题背景；理解原作建模思想、方法，求解方式；了解原作的结论，如果你拥有原作者的实际问题，你将如何解决？

其次，指定两名同学作为主讲人，主持课上的学习与讨论。教师对主讲人的指导分两个方面：一是语言文字关，要提醒学生用准确、简练的文字表述以及适当的语速语调；二是论文整体结构的把握，各部分在全篇的地方作用是什么？要求主讲的学生对原作不仅下工夫去读，甚至去计算、重新组合；为了能正确回答同学们的问题，需查阅大量的相关书籍，应该说，主讲人最辛苦，收获也最大，因此是最好的数学学习。学习和研究别人的数学建模成果，虽然不同于自己做课题，但这对于培养学生自主学习的能力，以及从他人的思路和方法中学到如何做课题无疑具有积极的意义，这样做充分利用了学生优秀论文这一宝贵的教育资源。这种课堂上的老师，不再是编剧、导演、主演和正确的化身，而是动态的变换自己角色，成为学生学习的参与者、参谋和欣赏者。

模式4．“导学探索，自主解决”模式

该模式主要通过如下几个过程完成：

（1）设置问题或构造问题环境

（2）通过探索讨论，提炼数学模型，形成猜想或分解成有目标的“小任务”

（3）激励学生自主地尝试解决问题

（4）引导评价，及时总结，巩固成果

（5）求异探新，把问题的探索和发现解决的过程延续到课外

模式5．课外活动的“四步模式”

数学课外活动是课堂的延伸，是拓展学生知识面，提高学生多方面数学素质能力的好形式。我常常把每学期的数学建模活动按教学周期设计，在每一个教学周期中都基本含有以下四个阶段：

第一阶段：让学生感受到研究生活中的数学问题是十分有益而又有趣的事。在这个阶段由浅入深安排一些用数学知识巧妙解决的问题，如投资，经营，赞助中的问题，二进制的应用，体育赛制等内容。这些内容贴近学生实际，能有效地调动学生的积极性。

第二阶段：随着学习的深入，问题难度加大了，在学生感到问题棘手，知识匮乏时可以向他们介绍有关知识。有目的地学习，学生学习积极性高，效果好。

第三阶段：前面两个阶段研究的问题还是比较容易找到相应的数学工具解决的实际问题，有大部分是为了训练学生应用意识和能力而将实际问题简化而编成的题，离真正的数学建模学习还有很大的差距。我们所以提出条件更模糊，解决方向也不明确的实际问题，带领学生一起去解决。

第四阶段：在接触了一些数学应用的实例之后，学生已跃跃欲试，希望自己能够独立解决一些实际问题。但往往由于问题涉及的因素较为复杂，学生社会经验贫乏及多种学科综合运用的能力不足使他们在解决问题时困难重重。这时我们或者指导学生去有目的地学习有关知识，鼓励他们去向专家咨询，逐步明确解决的方向。

四、数学建模效果

实践表明，数学建模的学习有利于培养学生学习数学的兴趣和自信；有利于培养学生的“潜创造力”；有助于学习策略和方法的形成；有利于培养学生的综合素质和促进学生全面发展；可以促使教师自觉转变观念，不断学习，更新知识；有利于教师提高自身的科研能力和创造力；有利于培养学生合作学习的能力；有利于培养学生处理信息的能力；有利于学生形成正确的数学观；有利于学生体验数学与生活、数学与其它科学的联系；有利于发现学生的创新意识。

[1] 《数学建模导论》 陈理荣主编 北京：北京邮电大学出版社，1999

[2] 《数学建模》原理与方法 蔡锁章主编 北京：海洋出版社，2000

[3] 《数学建模的理论与实践》 吴翊，吴孟达，成礼智编著 长沙：国防科技大学出版社，1999