医用高等数学教学中融入数学建模思想的实践与研讨

【摘要】 医用高等数学作为医科类学生必修基础课程，一方面其专业理论知识已渗透到各种科研工作中，成为科研工作必不可少的基础工具;另一方面其解决问题的思想和方法，促使学生养成严谨辩证考虑问题的习惯，培养了学生抽象思维的能力。医学类高校数学课程普遍学时短，存在重理论、轻应用的特点。如何在较短的学时内，提高教学质量，培养学生学习高等数学的同时会用高等数学解决实际问题的能力，是各医科类高校数学教师都在思考的难题。根据教学实践与经验，在教学中融入数学建模的思想，将抽象的数学问题与实际医学问题结合是一个有效的途径。

【关键词】 医用高等数学;数学建模

1 引言

马克思说过，一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步。20世纪以来，数学向医学领域的不断渗透，推动了医学向更深层次的发展，不断有新的科学分支出现，如生物数学、数理诊断学、细胞动力学、病理过程的模拟及决策分析等。数学作为工具应用于医学中生命系统重要特征的研究，更深刻地揭示出了生命系统中每个细胞、有机体随时间不断变化的特征与规律。

医学院校的学生要掌握医用高等数学这门工具，不仅要掌握其理论知识，更重要的是要会用，要具备将其作为一项技能与辅助工具解决实际医学问题的能力。数学教育应该培养学生两种能力：“算数学”(计算、推导、证明…)和“用数学”(实际问题建模及模型结果的分析、检验、应用)。

数学建模是应用数学知识与计算机解决医学中诸多实际问题的一种有效工具。例如：生物医学专家若掌握了药物浓度在人体中随时间和空间变化的数学模型，就可以用来分析药物的疗效，从而有效指导临床用药。

2 为什么要在医用高等数学中融入数学建模思想

医用高等数学课程主要内容微积分具有将复杂问题归纳为简单规划和步骤的非凡能力，迄今已获得相当大的成功。但是由于微积分形式抽象及大量符号语言的使用与人们的直接生活距离较大，给医用高等数学的教与学带来了很大的障碍和困难。

医学院传统的高等数学教学过分注重数学的抽象定义、定理的证明，而与现实结合很少。这一学科在学生眼中成为一些规划与步骤，而对其本身的价值缺乏认识，造成相当多的学生觉得数学抽象难学、枯燥无味，从而愈来愈失去兴趣。这对于培养有竞争与创新能力的学生来讲是十分不利的。

而数学建模正是这样一门学科，它将复杂的实际问题划归为数学问题，应用数学理论和方法或编程计算对模型进行分析从而得到结果，再返回去解决现实问题。它建立了一座从理论到现实的桥梁。

3 如何融入数学建模思想

3.1 让学生认识高等数学的重要性

迫于学时压力，我们大多数医学院数学教师在第一堂课直接“切入主题”，开始第一章内容的讲解。我们忽略了高等教育与初等教育的区别。高等教育不是简单地在课堂上将知识灌输给学生，更多地是要引导学生合理安排课堂之外的时间自主学习，激发学生去发掘，去创新。通过以往的经验，我们发现学生由于缺乏对高等数学与医学结合日益紧密的认识，学生学习的目标盲目，在遇到难题的时候往往缺乏知难而进的精神。

在绪论课上，医学院校的数学教师，首先要将一些数学与医学最新结合的动态传递给学生。如医学上CT的发明获得1979年诺贝尔奖，其数学基础就是二维Rodan变换，1985年医学诺贝尔奖也是由建立了“免疫网络系统”的瑞典数理医学专家Jerne获得。随着在完整基因组、功能基因组、生物大分子相互作用及基因调控网络等方面大量数据的积累和基本研究规律的深入，生命科学正处在用统一的理论框架和先进的实验方法来探讨数据间的复杂关系，向定量生命科学发展的重要阶段。医学科研问题，与数学联系越来越紧密。

留出第一节课，让学生了解数学应用于医学研究的最前沿的知识，而不是仅仅停留在抽象的数学符号、公式、定理的表面，让学生认识其重要性，培养学生兴趣，激发其自主学习的动力，这一点是十分必要的。

3.2 将医学模型引入课堂教学

应用数学模型研究生命科学与临床医学中的一些课题已越来越受到重视。将医学模型引入课堂教学，有助于学生将数学与自己的专业知识联系在一起学习，对数学的认识不再停留于抽象的理论。如：

例1 恒速静脉滴注多次给药一室模型血药浓度计算

设k0是静脉滴注速率， k是一级消除率，τ0 是滴注时间，c(t)t 是t 时刻体内血药浓度，V 是表观体积，静脉滴注过程服从如下一室药物动力学模型[1]：

dc(t)dt=k0V-kc(t)， 0≤t≤τ0

dc(t)dt=-kc(t)， t≥τ0

c(0)=0(1)

若考虑以24 h为一个治疗时段，由(1)式可解得第一次静脉滴注后体内的血药浓度为[2]：

c(t)=A(1-e-kt)， 0≤t≤τ0

c(τ0)e-k(t-τ0)， τ0≤t≤24(2)

其中 A=k0kV=k0Clt(3)

Clt 为药物的清除率。

若dn 为第n 次静脉滴注与第n-1 次静脉滴注间隔的天数(n=2，3，…) 。由(1)式及(2)式可推导出第n 次静脉给药后体内的血药浓度为[2]

c(t)=A-[A-c(24dn-1)]e-k(t-24dn-1)， 24dn-1≤t≤24dn-1+τ0

c(24dn-1+τ0)e-k(t-24dn-1-τ0)， 24dn-1+τ0≤t≤24dn(4)

临床中很多疾病需采用不同药物交替治疗，各种药物在组织与血液中血药浓度也不同，医生采取什么样的用药方案直接影响治疗结果。例如小儿重症支原体肺炎治疗方案的涉及一直是临床关注的问题。文献[2]的作者在进一步的研究中以小儿重症支原体肺炎的治疗问题为背景，根据其疗程的要求和恒速静脉滴注多次给药一室模型给出四种用药方案，并根据计算出的4种给药方案的血药浓度，绘制药时曲线，给出其相应的平均稳态血药浓度和有效治疗时间，为依据临床表现，选择最优的治疗提供了可供参考的方案。

我们尝试在每章数学知识介绍的同时穿插个别典型医学应用模型，个别数学模型作为课后辅助研读材料[3]，如下：

第一章 函数、极限与连续

药物的吸收模型、药物在体内的残留量模型、简单的肿瘤生长模型(判断已知生长规律函数的肿瘤是否会无限制长大)、化学反应物质的量。

第二章 导数与微分

微分在心输出量误差估计中的应用模型、种群增长变化率模型、病菌繁殖速度模型。

第三章 中值定理与导数应用

小血管的轴流问题，咳嗽问题的数学模型，导数在求医学中一些极值问题时的应用模型(血药浓度何时达到最大、睡眠时气管中气流何时流速最大)。

第四章 不定积分，第五章 定积分

单位时间内血流量、心脏输出血量的控制、血流速、心脏输出量的测定、呼出或吸入空气的速度、主动脉压。

第六章 多元函数微积分学

尿素清除率的误差估计、利用已知样本数据和最小二乘法拟合血硒和发硒的经验公式、利用已知数据和最小二乘法拟合血药浓度和时间的关系式、药物稳定性及疾病诊断模型、糖尿病诊断模型。

第七章 常微分方程

给药模型、静脉输液问题、死亡生物体内C14 变化规律、血液流速、种群生长模型、人口模型、流行病学模型、减肥问题的数学模型、药物动力学房室模型(快速静脉注射模型、口服或肌肉注射模型)、SARS传染病模型。

由于各种病毒潜伏期、传播途径、变异与否及生物体是否产生抗体等因素不同，在介绍了经典的传染病模型之后，引导学生思考H1N1病毒传播的数学模型。

第八章 无穷级数

药物在体内的残留量。

面向不同专业的学生我们根据其未来的发展方向介绍不同的应用模型，如医学信息管理专业的学生我们更多引入医院管理中所涉及到的规划、预测、决策模型，并会用计算机模拟求解。我们也可适当引入应用高等数学知识的社会热点问题模型，如高校学费收费标准，核废料处理，H1N1传播规律与控制等问题，引导学生自主思考，学会建模。这也无形中提高了学生科研创新的能力。

3.3 将数学建模软件引入课堂教学

计算机技术和数学软件的迅速发展，为数学建模的应用提供了强有力的工具。SPSS、SAS等数学统计软件从凌乱的数据中找到规律，Mathematica、Matlab、Maple、Lindo、Lingo等常用数学建模软件不仅可处理繁琐的计算，其强大的绘图功能也丰满了我们的课件，将抽象的符号直观地呈现。

例如，Matlab将高性能的数值计算和可视化集成在一起，提供了大量的内置函数，被广泛地应用于科学计算、控制系统一集信息处理等领域的分析、仿真和设计工作。它强大的数学函数库，包括了一系列基本的数学函数。利用Matlab可以进行高等数学中的极限计算、导数微分计算、积分计算、常微分方程求解以及级数计算。

例2 求解微分方程组的通解和特解[4]

2dxdt+dydt-y=e-t

dxdt+x+y=0，

其中初始条件：x(0)=1.5，y(0)=0 。

首先求解微分方程的通解：

>> s=dsolve('2*Dx+Dy-y=exp(-t)'，'Dx+x+y=0');%求解的微分方程组的通解

>> s.x %微分方程组变量x的通解

ans =

-C1*exp((1+2^(1/2))*t)-C2*exp(-(2^(1/2)-1)*t)+1/2*C1*exp((1+2^(1/2))*t)*2^(1/2)-1/2*C2*exp(-(2^(1/2)-1)*t)*2^(1/2)-1/2*exp(-t)

>> s.y %微分方程组变量y的通解

ans =

C1*exp((1+2^(1/2))*t)+C2*exp(-(2^(1/2)-1)*t)

然后根据初始条件，求解微分方程组的特解：

>> s=dsolve('2*Dx+Dy-y=exp(-t)'，'Dx+x+y=0'，'x(0)=1.5'，'y(0)=0');%微分方程组在给定初始条件下的特解

>> s.x

ans=

-2^(1/2)*exp((1+2^(1/2))*t)+2^(1/2)*exp(-(2^(1/2)-1)*t)+exp((1+2^(1/2))*t)+exp(-(2^(1/2)-1)*t)-1/2*exp(-t)

>> s.y

ans=

2^(1/2)*exp((1+2^(1/2))*t)-2^(1/2)*exp(-(2^(1/2)-1)*t)

%或者使用下面的命令直接获取x，y的特解

[x，y]=dsolve('2*Dx+Dy-y=exp(-t)'，'Dx+x+y=0'，'x(0)=1.5'，'y(0)=0')

得到

x =

-2^(1/2)*exp((1+2^(1/2))*t)+2^(1/2)*exp(-(2^(1/2)-1)*t)+exp((1+2^(1/2))*t)+exp(-(2^(1/2)-1)*t)-1/2*exp(-t)

y =

2^(1/2)*exp((1+2^(1/2))*t)-2^(1/2)*exp(-(2^(1/2)-1)*t)

Mtalab还提供了丰富的图形表示方法，使得数学计算结果可以方便、多样性地实现可视化，从而可以直观地观察数据之间的内在关系。Matlab图像处理工具箱和自编函数可以方便快捷地对医学图像进行各种处理，使用者可根据临床需要自行建模与仿真，为临床教学与科研提供了很好的处理工具。

例3 利用Matlab特殊图像显示技术显示多帧核磁共振图像[4]，代码如下：

%定义一个4维矩阵，用来存储27幅核磁共振图像

>>mri=uint8(zeros(128，128，1，27));

%循环读出多帧图像中的每一图像

for frame=1:27

[mri(:，:，:，frame)，map]=imread('mri.tif'，frame);

End

%多帧显示

>> montage(mri，map)

其运行结果如下： Mtalab制作的图形使我们的CAI课件更加形象生动，激发了学生学习的兴趣，另一方面还可培养学生对医学图像处理和加工的能力。图像变换功技术在图像增强、图像恢复和有效地减少图像数据、进行数据压缩以及特征提取等方面都有着十分重要的作用。Matlab提供的快速傅立叶变换函数和离散余弦变换函数(DCT)等在对图像效果增强、图像分析、图像复原和图像压缩等方面应用广泛。

3.4 融入医学建模实例的高等数学教材编写

紧密跟随医学与生命科学发展的脚步，编写包含最新科研成果的医用高等数学教材也是我们医科院校高等数学教师积极不懈所奋斗的一个方向，这也无形中要求我们改变知识结构，拓宽知识面，多学习医学知识，与医学类教师多交流合作。

4 结语

我们通过选取个别专业班级(医学信息技术、生物医学工程和临床医学)作为试点，不断尝试和改进教学方法，并起到了良好的效果。试点班级学生课堂表现活跃，课下积极思考，并踊跃参加全国大学生数学建模竞赛。我们发现，要培养高素质的医学人才，医用高等数学作为基础课程必须与应用紧密结合，这就要求我们将数学建模的思想和方法结合计算机的模拟求解巧妙融入其课堂教学过程。当然提高医用高等数学的教学质量，需要做的还很多，这将是我们医学院数学教师要不断努力和探索的课题。