浅议数学解学中发散思维的培养

： 一、 一题多解，引导学生广开思路、发散思维

在教学中，在教学中运用精选的习题进行一题多解的训练，一题多解，就是用不同的思维分析方法，多角度多途径地解答问题数学题目，由于其内在的规律，或思考的途径不同，可能会有许多不同的解法．因此，在平时的教学中，教师有意识的通过教材题目的引伸拓宽，引导学生广开思路、发散思维，探求多种解法，以此来训练和培养他们思维的创造性．

如2008年陕西中考试题第二十题：阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．

第一种方法：选用皮尺、标杆；证明△ABC∽△DEF ，测量DE、AC、EF的长就能得出树AB的高度．

第二种方法：选用平面镜、皮尺；利用平面镜成像原理证明证明△ABC∽△DEF ，测量CE、DE、AC的长就能得出树AB的高度．

第三种方法：选用标杆、皮尺；利用视线，测量DF、AF、EF、CD的长，构造相似三角形，从而得出树高AB的高度．

采用“一题多解”时要引导学生从不同角度来观察和思考，以寻求不同的解题途径，同时引导学生对多种方法进行比较，优化解题方法，并注意找出同一问题存在各种解法的条件与原因，挖掘其内在规律．

二、 一题多变，变式题目结构，培养学生的数学发散思维

教学中也可运用“一题多变”将题目结构进行变式，将一题演变成多题，而题目实质不变，让学生解答这样的问题，能随时根据变化的情况思考，从中找出它们之间的区别和联系，以及特殊和一般的关系．使学生不仅能复习、回顾、综合应用所学的知识，而且是使学生把所学的知识、技能、方法、技巧学牢、学活，培养了思维的灵活性和解决问题的应变能力．

如：学习人教版九年级的二次函数时，例题：已知二次函数的图象经过A（1，0）、B（－2，0）、C（2，4）三点，求此函数的解析式． 出示题目后，让学生分析题意，再做解答，大多数学生用待定系数法：设

Y= ａX2 +ｂX+ C（a≠0）通过解方程组求得；也有一部分学生由于认真分析了这道题的特征，设出了Y=ａ（x－1）（x－2）（ａ≠0），再将（2，4）代入上式，很快得出函数解析式，并确认了第二种解法更简捷，此时学生们情绪激昂、思维活跃，教师便因势利导提出问题：能否适当改变题中的条件，使所求的函数解析式不变？学生分小组讨论、交流，并明确比一比哪一小组编得又快又好．各小组分别进行探究，教师深入到小组中，了解学生探究的过程、碰到的问题等．在给定时间内学生充分讨论后，编得了许多好题，并要求其他小组的同学验证、评价．典型的题目有以下几种：

变式１．已知Y＝ａX2＋X＋C（ａ≠0）的图象过点A（1，0），B（－2，0），求这个函数的解析式．

变式2．已知Y＝X2，平移，使这个函数的图象经过（1，0）和（－2，0），求这个函数的解析式．

变式3．已知二次函数的图象经过（0，－2），图象向右平移 个单位后，以Y轴为对称轴，图象向上平移 个单位后与X轴只有一个交点，求这个二次函数的解析式．

变式4．已知二次函数Y＝ａX2＋ｂX－2图象过点（－1，－2），且函数最小值为－1 ，求这个二次函数的解析式．

以上所用的方法都不同，但所求函数解析式均为Y＝X2＋X－2，正所谓殊途同归，一题多用，例题既考虑到知识的覆盖面，又和教材重点内容紧密相联，经常通过这样的训练，能使学生具有敏捷的思维，丰富的想象，出众的发散思维能力．

三、一法多用，通过对方法实质的理解，运用一种方法解决同类型的题目，锻炼学生的思维．

学生在解题过程中能总结有着普遍意义的方法，这种方法能向宽阔的范围内迁移，并应用于许多情况．

例如，人教版八年级下册四边形中有这样一道题：你知道顺次连接四边形各边中点所得的图形是什么四边形吗？在本题中涉及中点，自然应该联想到三角形两边中点连线平行第三边．因此，在图上进行分解时，要有意识把全图用不同形式分解出三角形中具有中位线的图形，不难推出这个四边形是平行四边形．

许多几何图形之间有着内在的联系，此题可引申为任意四边形、平行四边形、菱形，矩形，正方形中点连线所得的四边形是什么样的形状．这样对题目进行训练，一是有利把四边形的知识作充分的复习和应用；二是对如何运用三角形中位线的技巧做了系统的训练，可以完全掌握这类问题的思路，并且他们会把新知识消化吸收，纳入已有的知识系统，形成新的 认知结构，这样从一题多解引申探讨，达到做一题知一类，提高解题能力，培养发散思维的目标．

发散思维是对已知信息进行多方面、多角度的思考，不局限于既定的理解，从而提出新问题，探索新知识或发现多种解答和多种结果的思维方式，其功能是“求异”．发散思维对推广原问题、引申旧知识、发现新方法等具有积极的开拓作用．因此，创造力更多地富于发散思维中．发散思维是多方向性和开放性的思维方式，它同单一、刻板和封闭的思维方式相对立，它承认事物的复杂性、多样性和生动性，在联系和发展中把握事物．发散性思维仿佛具有众多条的”触角”，不拘泥于一个方向、一个框架而向四面八方延伸，可使学生的思维纵横交错，构成丰富多彩的“意识之网”，是一种数学意识的生成．